Conjuntos con estructura de Anillo

Un conjunto A con dos operaciones, que simbolizaremos como "+" y "•", tiene estructura de Anillo si se cumplen las condiciones siguientes:

Condiciones para la operación + :

- Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c) ∀ a, b, c ∈ A.

- Conmutativa: a+b = b+a ∀ a, b ∈ A.

- ∃ 0 ∈ A | a+0= 0+a ∀ a ∈ A. (al "0" se le denomina elemento "cero").

- ∀ a ∈ A, ∃ -a ∈ A | a+(-a) = (-a)+a = 0.
("-a" se denomina elemento "opuesto" del elemento a).

Condición para la operación • :

- Propiedad asociativa: (a • b) • c = a • (b • c), ∀ a,b,c ∈ A.

Condiciones distributivas de relación entre las dos operaciones:

a • (b+c) = a • b + a • c ∀ a, b, c ∈ A.

(a+b) • c = a • c + b • c ∀ a, b, c ∈ A.

Si se cumplen estas condiciones el conjunto A "tiene estructura de anillo", o simplemente "es un anillo".

Consecuencias de la definición:

En un anillo A: a • 0 = 0, ∀ a ∈ A.

Demostración: a • 0 = a • (0+0) = a • 0 + a • 0 ⇒ a • 0 = 0 ∀ a ∈ A.

Anillo conmutativo o "abeliano"

Es un anillo A en el que la operación • es conmutativa: a • b = b • a ∀ a, b ∈ A

Podemos observar que en un anillo la operación + siempre es conmutativa, mientras que para la operación • no es necesario.

Anillo con unidad

Si existe e ∈ A | a • e = e • a = a ∀ a ∈ A, entonces A es un "anillo con unidad".

Al elemento "e" se le llama unidad de A, y se designa "1".

Si ∀ a ≠ 0 ∃ a^-1 ∈ A | a • a^-1 = a^-1 • a = 1, entonces a^-1 es "un inverso de a".

Dado que a • 0 = 0 ⇒ el "cero" no puede tener inverso (no existe 0^-1).

Conjuntos con estructura de Cuerpo

Un anillo, conmutativo, con unidad, en el que todo elemento distinto del 0 tiene inverso, es un cuerpo. Veamos algunos ejemplos básicos:

Ejemplo 1: los números naturales

El conjunto de los números naturales N={1, 2, 3, ...} junto con la suma y el producto ordinarios, cumple con las condiciones de estructura de anillo, excepto por dos: la suma carece de elemento cero (que seria el número "0"), y ningún elemento del conjunto cuenta con un opuesto que pertenezca a N.

Observamos que las dos operaciones suma y productos ordinarios en N son cerradas en el sentido que siempre dan resultados dentro del conjunto N; pero la ausencia de elemento cero y elementos opuestos impiden que N tome estructura de anillo. El cero ha quedado fuera del conjunto en la definición de N emplada (no todo el mundo excluye al cero de los númeos naturales), y los opuestos de los números naturales són sus correspondientes negativos, que pertenecen al conjunto de enteros Z.

Observamos que en N ambas operaciones son conmutativas, lo que en el caso del producto no es condición necesaria. Incluso existe el elemento unidad e, que seria el primer elemento de N, el número "1". O sea que N es conmutativo por el producto y con unidad (aunque N no sea anillo).

Y por último, decir que en N ningún elemento tiene inverso que petenezca a N, lo que impediría, en caso de ser anillo, que N tomara estructura de cuerpo. Los inversos de los elementos de N son números racionales, y un conjunto no puede tomar estructura de cuerpo sin tomar previamente la de anillo.

Ejemplo 2: los números naturales con el cero

Vamos a ver como varia lo anterior si consideramos que el cero pertenece a los naturales.

El conjunto de los números N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, ...} junto con la suma y el producto ordinarios, sólo varía respecto al ejemplo anterior en que la operación suma posee ahora de un elemento cero, que es el número "0", pero la presencia del cero en el conjunto no dota de opuestos a los demás elementos, con lo cual el conjunto sigue sin adoptar la estructura de anillo.

Las demás observaciones, relativas al ejemplo anterior, se dan exactamente igual en este caso.

Ejemplo 3: los números enteros

El conjunto de los números enteros Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} junto con la suma y el producto ordinarios, tiene estructura de anillo, pues cumple con todas las condiciones.

El producto ordinarios definido en Z es conmutativo, con lo cual Z es un anillo conmutativo o abeliano.

El conjunto cuenta con el "1", que vía las condiciones para el producto hace de Z un anillo conmutativo con unidad.

Ningún elemento de Z, excepto el "1", cuenta con un inverso dentro de Z, con lo cual Z no tiene estructura de cuerpo.

Ejemplo 4: los números racionales

El conjunto de los números racionales Q = {q = a / b | a, b ∈ Z} junto con la suma y el producto ordinarios, tiene estructura de anillo, cumple con todas las condiciones.

El producto ordinarios definido en Q es conmutativo, con lo cual Q es un anillo conmutativo o abeliano.

El conjunto cuenta con el "1", que vía las condiciones para el producto hace de Q un anillo conmutativo con unidad.

∀ q ∈ Q, q = a / b | a,b ∈ Z, excepto para el "0", ∃ q^-1 = b / a ∈ Q ⇒ Q tiene estructura de cuerpo.

Igual que Q, los números reales R y los complejos C, són cuerpos.

Estos ejemplos son sólo algunos casos sencillos de anillos, existen muchos más que iremos exponiendo en otros artículos.

Conjuntos y Estructuras de "Anillo" y de "Cuerpo"
Por Dan Varllej, 09-12-2011