Conjuntos y Estructuras de "Grupo"
Un conjunto G con una operación, que simbolizaremos como * , tiene estructura de Grupo si se cumplen las condiciones siguientes:
- Asociativa: (a * b) * c = a * (b * c) ∀ a, b, c ∈ G.
- Elemento neutro: ∃ e ∈ G | a * e = e * a = a ∀ a ∈ G.
(a "e" se le denomina "elemento neutro").
- Elemento inverso: ∀ a ∈ G ∃ a-1 ∈ G | a * a-1 = a-1 * a = e. (al a-1 se le llama "inverso de a").
Grupo conmutativo o abeliano
Es un grupo G en el que la operación * es conmutativa: a * b = b * a ∀ a, b ∈ G
Convenciones de notación:
Cuando la operación * se denota por el signo de suma +, especialmente en el caso de grupo conmutativo, el elemento neutro se denota por " 0 " y se llama "cero", y los elementos inversos se denotan por " -a " y se les llama "elementos opuestos".
Cuando la operación * se simboliza con el signo •, el elemento neutro se denota por " 1 " y se le llama "unidad".
Relaciones con la estructura de Anillo:
Como vemos, la estructura de grupo se relaciona de forma natural con la de anillo. Para tomar estructura de grupo, un conjunto necesita de una sola operación, mientras que para el caso del anillo se incluyen dos, de lo cual podemos examinar hasta qué punto las propiedades de anillo engloban las de grupo, a tenor de lo cual cabe preguntarse si de un anillo {A,+,•} pueden o no obtenerse dos grupos, uno para + y otro para •, conteniendo los dos la totalidad de los elementos de A.
En concreto, en lo que respecta a la operación + de un anillo, la misma condición de anillo garantiza que éste es en efecto un grupo conmutativo con la operación +. Recordemos que la definición de grupo no exige que deba ser conmutativo, pero las condiciones de la operación + en cualquier anillo A generan directamente con ésta un grupo G siempre conmutativo. Podemos decir: {A,+,•} = {G,+}, sin necesidad de referencias a la operación • del anillo A.
En lo que respecta a la operación • de cualquier anillo A, de la definición de anillo no se garantiza que {A,•} sea también un grupo, pues con la simple condición de anillo, el conjunto sólo satisface la propiedad asociativa.
Si exigimos la "estructura extra" que según la definición de anillo también se le puede atribuir hasta llegar a la condición de cuerpo, concluímos:
- Un anillo con unidad cumpliria con la segunda condición de grupo, pero le faltaria la tercera, con lo cual: un anillo con unidad no es un grupo con •.
- Y una vez llegamos a la estructura de cuerpo (la más exigente para un anillo), vemos que tampoco adopta la estructura de grupo debido a que en este caso siempre hay el "elemento cero" de la suma, del que sabemos que carece de inverso. Podemos escribir {K,•} ≠ {G}
- Respecto a lo anterior, no podemos ignorar la existencia de este "elemento cero" porque estamos tratando de obtener un grupo a partir de un anillo, con lo cual debemos contar con la presencia de la operación +, y una de sus consecuencias es la existencia del "elemento cero" dentro del conjunto.
Ejemplos básicos
Ejemplo 1: los números naturales
- El conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, ...} junto con la suma no forma grupo; carece de elemento neutro (que seria el " 0 ") y carece de elementos inversos (u opuestos), que serian los correspondientes negativos, que no pertenecen a N si no a Z.
- El conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, ...} junto con el producto no forma grupo; si bien dipone de elemento neutro, que es el " 1 ", carece de elementos inversos, que serian las fracciones {1/1, 1/2, 1/3, ...}, conjunto que no pertenecen a N si no a Q.
Ejemplo 2: los números naturales con el cero
- El conjunto de los números N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, ...} junto con la suma no forma grupo; si bien en este caso dispone de elemento neutro (el " 0 "), sigue careciendo de elementos inversos (u opuestos), que serian los correspondientes negativos, que no pertenecen a N si no a Z.
- El conjunto de los números naturales N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, ...} junto con el producto no
forma grupo; si bien dipone de elemento neutro, que es el " 1 ", carece de elementos inversos, que
serian las fracciones {1/1, 1/2, 1/3, ...}, conjunto que no pertenecen a N si no a Q.
Además, ocurre que el cero no dispone de inverso (no existe 1/0).
- Vemos pues que el contexto de los números, el mayor de todos los problemas para adoptar la estructura de grupo está en el número cero. Fijándonos en esto se comprenden bien los ejemplos siguientes:
Ejemplo 3: los números enteros
- El conjunto de los números enteros Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} con la suma tiene estructura de grupo, ya que cumple con la propiedad asociativa, cuenta con un elemento neutro que es el número cero, y cada número cuenta con un opuesto que operado con la suma da cero: a ↔ -a ∀ a ∈ Z; de modo que {Z,+} = {G,+}. Y además se trata de un grupo conmutativo.
- El mismo conjunto de los enteros Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} con el producto no tiene estructura de grupo, ya que cumple con la propiedad asociativa, cuenta con un elemento neutro que es el número uno, pero cada número (excepto el 1) carece de un opuesto dentro de Z que operado con el producto de 1 (por lo dicho en el ejemplo anterior). De modo que {Z,•} ≠ {G}.
- Notemos que, teniendo en cuente las observaciones del ejemplo anterior, formar el conjunto Z - {0} no nos ayuda a formar grupo en este caso: en lo que respecta al producto tal exclusión del cero no cambia las cosas; y en lo que respecta a la suma, el conjunto se queda sin su elemento neutro, con lo que se pierde la condición de grupo. De modo que Q - {0} no forma grupo ni con la suma ni con el producto: {Z - {0},+} ≠ {G}, {Z - {0},•} ≠ {G}.
Ejemplo 4: los números racionales
- El conjunto de los números racionales con la suma {Q,+} = {q = a / b | a, b ∈ Z,+}, tiene estructura de grupo y además conmutativo: cumple la propiedad asociativa, cuenta con elemento neutro que es el número cero, y cada racional cuenta con su opuesto en Q, q ↔ -q ∀ q ∈ Q. De modo que {Q,+} = {G,+}.
- Para el producto ordinario la situación es similar salvo por la presencia del cero en Q. Vemos que
se cumple la propiedad asociativa del producto (y la conmutativa), existe un elemento neutro que es
el número 1, y ∀ q ∈ Q, q = a / b, excepto para el "0", ∃ q-1 = b / a ∈ Q.
Podemos pues formar un grupo en Q excluyendo el cero: {Q - {0},•} = {G,•}.
- Lo mismo que hemos argumentado para Q sirve para los números reales R y los complejos C. Podemos pues especificar los siguientes grupos conmutativos:
{R,+} = Gcon. , los números reales con la suma,
{C,+} = Gcon. , los complejos con la suma,
{R - {0},•} = Gcon. , los reales sin el cero con el producto,
{C - {0},•} = Gcon. , los complejos sin el cero (0,0) con el producto.
El interés por los grupos es muy fecundo en ejemplos y utilidades, son una estructura matemática especialmente importante para la matemática y la física; estos ejemplos son algunos de los más sencillos, todos ellos conmutativos. En otros artículos expondremos muchos más, en concreto los no conmutativos y los grupos contínuos.
Conjuntos y Estructuras de "Grupo"
Por Dan Varllej, 12-12-2011